Question

已知函數,．
（1）若對任意的實數,函數與的圖象在處的切線斜率總相等，求的值;
（2）若，對任意，不等式恒成立，求實數的取值范圍.

Answer 1

（1）；（2）.

試題分析：（1）求出的導數，由題設知，且，解得即可；（2）兩種方法：法一，先利用在處不等式成立，得，即是不等式恒成立的必要條件，再說明是不等式恒成立的充分條件即可；法二，記則在上，，對求導，對討論求出滿足的的范圍.
試題解析：（Ⅰ）     
由題設知，且，即， ……2分

因為上式對任意實數恒成立，        ……4分
故，所求    ……5分
（Ⅱ）即，
方法一：在時恒成立，則在處必成立，即，
故是不等式恒成立的必要條件.   ……7分
另一方面，當時，記則在上，
     ……9分

時，單調遞減；時，單調遞增

，，即恒成立
故是不等式恒成立的充分條件.  ……11分
綜上，實數的取值范圍是      ……12分
方法二：記則在上，
    ……7分
若，，時，，單調遞增，，
這與上矛盾；      ……8分
若，，上遞增，而，
這與上矛盾；……9分
③若，，時，單調遞減；時，單調遞增
，即恒成立     11分
綜上，實數的取值范圍是      12分