Question

已知函數
（Ⅰ）當時，求函數的單調區間;
（Ⅱ）若，對定義域內任意x,均有恒成立，求實數a的取值范圍？
（Ⅲ）證明：對任意的正整數，恒成立。

Answer 1

（Ⅰ）在；（Ⅱ）；（Ⅲ）詳見解析．

試題分析：（Ⅰ）當時，求函數的單調區間，首先確定定義域，可通過單調性的定義，或求導確定單調區間，由于，含有對數函數，可通過求導來確定單調區間，對函數求導得，由此令，，解出就能求出函數的單調區間；（Ⅱ）若，對定義域內任意,均有恒成立，求實數的取值范圍，而，對定義域內任意,均有恒成立，屬于恒成立問題，解這一類題，常常采用含有參數的放到不等式的一邊，不含參數（即含）的放到不等式的另一邊，轉化為函數的最值問題，但此題用此法比較麻煩，可考慮求其最小值，讓最小值大于等于零即可，因此對函數求導，利用導數確定最小值，從而求出的取值范圍；（Ⅲ）由（Ⅱ）知，當時，，當且僅當時，等號成立，這個不等式等價于，即，由此對任意的正整數，不等式恒成立．
試題解析：（Ⅰ）定義域為（0，+∞），，，所以在（4分）
（Ⅱ），當時，在上遞減，在上遞增，，當時，　不可能成立，綜上；（9分）
（Ⅲ）令，相加得到
得證。（14分）