Question

已知函數（為自然對數的底）
(1)求的最小值;
(2)設不等式的解集為，且,求實數的取值范圍.

Answer 1

（1）；（2）.

試題分析：（1）先求導函數，然后根據函數的單調性研究函數的極值點，連續函數在區間內只有一個極值，那么極小值就是其最小值；
（2）根據不等式的解集為，且，可轉化成對任意的，不等式恒成立.即對任意的恒成立，分離參數得，令，利用導數研究的最小值，使即可．
試題解析：（1）令，解得；令，解得 .
從而在內單調遞減，內單調遞增.所以，.
（2）因為不等式的解集為，且，
所以，對任意的，不等式恒成立，
由得.當時， 上述不等式顯然成立，故只需考慮的情況.
將變形得，令，.
令，解得；令，解得
從而在內單調遞減，在內單調遞增.所以，當時，取得最小值，從而所求實數的取值范圍是.