Question

已知橢圓的兩焦點為，P為橢圓上一點，且|PF₁|+|PF₂|=4
（1）求此橢圓方程．
（2）若，求△F₁PF₂的面積（要有詳細的解題過程）

Answer 1

解：（1）依題意得c=，2a=4，
解得a=2，c=，從而b=1．
故橢圓的方程為 ．
（2）在△F₁PF₂中，由余弦定理得|F₁F₂|²=|PF₁|²+|PF₂|²-2|PF₁|•|PF₂|cos60°，
∴ ①
又|PF₁|+|PF₂|=2a=4，平方得|PF₁|²+|PF₂|²+2|PF₁|•|PF₂|=16，=2 ②，
②-①得3|PF₁|•|PF₂|=4，即 ，
∴△F₁PF₂的面積 ．
∴，△F₁PF₂的面積．
分析：（1）根據題意可求得a和c，進而根據b，a和c的關系，則b可得，進而求得橢圓的方程．
（2）由余弦定理結合橢圓的定義，經整體運算可求得|PF₁|•|PF₂|的值，進而求其面積．
點評：本題考查橢圓的簡單性質的應用，以及用待定系數法求橢圓的標準方程的方法．還考查直線、圓和橢圓等平面解析幾何的基礎知識，考查綜合運用數學知識進行推理運算的能力和解決問題的能力．本題將圓錐曲線與三角問題巧妙的交匯在一起，事實上，在橢圓中S=b²tanθ，同理可求得在雙曲線中 （其中 ）．