Question

已知橢圓的兩焦點為F₁（-1，0）、F₂（1，0），P為橢圓上一點，且2|F₁F₂|=|PF₁|+|PF₂|．
（1）求此橢圓的方程；
（2）若點P在第二象限，∠F₂F₁P=120°，求△PF₁F₂的面積．

Answer 1

分析：（1）根據2|F₁F₂|=|PF₁|+|PF₂|，求出a，結合焦點坐標求出c，從而可求b，即可得出橢圓方程；
（2）求出直線方程與橢圓方程聯立，可得P的坐標，利用三角形的面積公式，可求△PF₁F₂的面積．

解答：解：（1）依題意得|F₁F₂|=2，
又2|F₁F₂|=|PF₁|+|PF₂|，
∴|PF₁|+|PF₂|=4=2a，
∴a=2，
∵c=1，
∴b²=3．
∴所求橢圓的方程為

x 2

4

+

y 2

3

=1．----------（3分）
（2）設P點坐標為（x，y），
∵∠F₂F₁P=120°，
∴PF₁所在直線的方程為y=（x+1）•tan 120°，
即y=-

3

（x+1）．----------（4分）
解方程組

y=- 3 x+1 x 2 4 + y 2 3 =1

并注意到x＜0，y＞0，可得

x=- 8 5 y= 3 3 5

---------（6分）
∴S_△PF1F2=

1

2

|F₁F₂|•

3 3

5

=

3 3

5

．----------（8分）

點評：本題考查橢圓的標準方程，考查直線與橢圓的位置關系，考查學生的計算能力，確定P的坐標是關鍵．