Question

【題目】函數f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜ ）的部分圖象如圖所示，將y=f（x）的圖象向右平移 個單位長度后得到函數y=g（x）的圖象．
（1）求函數y=g（x）的解析式；
（2）在△ABC中，角A，B，C滿足2sin2 =g（C+ ）+1，且其外接圓的半徑R=2，求△ABC的面積的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）解：由圖知 =4（ + ），解得ω=2，

∵f（ ）=sin（2× +φ）=1，

∴2× +φ=2kπ+ ，k∈Z，即φ=2kπ+ ，k∈Z，

由于|φ|＜ ，因此φ= ，

∴f（x）=sin（2x+ ），

∴f（x﹣ ）=sin[2（x﹣ ）+ ]=sin（2x﹣ ），

即函數y=g（x）的解析式為g（x）=sin（2x﹣ ）

（2）解：∵2sin2 =g（C+ ）+1，

∴1﹣cos（A+B）=1+sin（2C+ ），

∵cos（A+B）=﹣cosC，sin（2C+ ）=cos2C，

cosC=cos2C，即cosC=2cos2C﹣1，

所以cosC=﹣ 或1（舍），可得：C= ，

由正弦定理得 ，解得c=2 ，

由余弦定理得cosC=﹣ = ，

∴a2+b2=12﹣ab≥2ab，ab≤4，（當且僅當a=b等號成立），

∴S△ABC= absinC= ab≤ ，

∴△ABC的面積最大值為

【解析】（1）由圖知周期T，利用周期公式可求ω，由f（ ）=1，結合范圍|φ|＜ ，可求φ的值，進而利用三角函數圖象變換的規律即可得解．（2）利用三角函數恒等變換的應用及三角形內角和定理化簡已知可得cosC=﹣ ，進而可求C，由正弦定理解得c的值，進而由余弦定理，基本不等式可求ab≤4，利用三角形面積公式即可得解面積的最大值．
【考點精析】認真審題，首先需要了解正弦定理的定義(正弦定理:)．