Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=ex+be﹣x ， （b∈R），函數(shù)g（x）=2asinx，（a∈R）．
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若b=﹣1，f（x）＞g（x），x∈（0，π），求a取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）

解：

①當(dāng)b≤0時(shí)，f'（x）≥0，所以f（x）的增區(qū)間為（﹣∞，+∞）；

②當(dāng)b＞0時(shí)，減區(qū)間為 ，增區(qū)間為

（2）

解：由題意得ex﹣e﹣x﹣2asinx＞0，x∈（0，π）恒成立，

構(gòu)造函數(shù)h（x）=ex﹣e﹣x﹣2asinx，x∈（0，π）

顯然a≤0時(shí)，ex﹣e﹣x﹣2asinx＞0，x∈（0，π）恒成立，

下面考慮a＞0時(shí)的情況：h（0）=0，h′（x）=ex+e﹣x﹣2acosx，h′（0）=2﹣2a，

當(dāng)0＜a≤1時(shí)，h′（x）≥0，所以h（x）=ex﹣e﹣x﹣2asinx在（0，π）為增函數(shù)，

所以h（x）＞h（0）=0，即0＜a≤1滿足題意；

當(dāng)a＞1時(shí)，h′（0）=2﹣2a＜0，又 ，

所以一定存在 ，h′（x0）=0，且h′（x）＜0，x∈（0，x0），

所以h（x）在（0，x0）單調(diào)遞減，所以h（x）＜h（0）=0，

x∈（0，x0），不滿足題意．

綜上，a取值范圍為（﹣∞，1]

【解析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過討論b的范圍，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；（2）構(gòu)造函數(shù)h（x）=ex﹣e﹣x﹣2asinx，x∈（0，π），通過討論a的范圍確定函數(shù)的單調(diào)性，從而求出a的范圍．
【考點(diǎn)精析】關(guān)于本題考查的利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)的最大(小)值與導(dǎo)數(shù)，需要了解一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系： 在某個(gè)區(qū)間內(nèi)，(1)如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞減；求函數(shù)在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數(shù)在內(nèi)的極值；（2）將函數(shù)的各極值與端點(diǎn)處的函數(shù)值，比較，其中最大的是一個(gè)最大值，最小的是最小值才能得出正確答案．