Question

【題目】已知函數（為自然對數的底數）.

（1）求函數的單調區間；

（2）當時，若對任意的恒成立，求實數的值；

（3）求證：.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）時，單調遞增區間為；時，單調遞減區間為，

單調遞增區間為；（Ⅱ）；（Ⅲ）證明見解析

【解析】

試題分析：（1）先求導函數數，利用，即可求函數的單調增區間，即可求函數的單調減區間；（2）若對任意的恒成立，對恒成立, 即可求實數的值；（3）要證原不等式成立，只需證：，即證：，結合（2）利用裂項相消法求和，根據放縮法可證．

試題解析：解：（1），∴時，，在上單調遞增：時，時，單調遞減，時，單調遞增．

（2）由（1），時，，∴，即，

記．，∴在上增，在上遞減，∴，故，得．

（3）時，，時，，

時，．

由（2）可知，即，則時，，故，

即原不等式成立．