Question

【題目】過點與雙曲線：有且只有一個公共點的直線共__________條.

Answer 1

【答案】4

【解析】

把直線與雙曲線的位置關系，轉化為方程組的解的個數來判斷，借助判別式求解，注意分類討論．

解；雙曲線方程為2x2﹣y2＝2，化為標準形式：1，

當k不存在時，直線為x＝1，與1的圖象有且只有一個公共點，

當k存在時，直線為：y＝k（x﹣1）+2，代入雙曲線的方程可得：

（2﹣k2）x2+（2k2﹣4k）x﹣k2+4k﹣6＝0，

（1）若2﹣k2＝0，k時，y＝（x﹣1）+2與雙曲線的漸近線yx平行，

所以與雙曲線只有1個公共點，

（2）k時，△＝（2k2﹣4k）2﹣4×（2﹣k2）（﹣k2+4k﹣6）＝﹣32k+48＝0

即k，此時直線y（x﹣1）+2與雙曲線相切，只有1個公共點．

綜上過點P（1，2）且與該雙曲線只有一個公共點的直線4條．

故答案為：4