Question

【題目】已知拋物線的焦點F（1，0），O為坐標原點，A，B是拋物線C上異于 O的兩點．

（1）求拋物線C的方程；

（2）若直線AB過點（8，0），求證：直線OA，OB的斜率之積為定值

Answer 1

【答案】（1）；（2）詳見解析.

【解析】

（1）根據拋物線方程和焦點坐標得，從而可得拋物線方程；（2）當斜率不存在時，求出交點坐標，從而得到；當斜率存在時，聯立直線方程與拋物線方程，可得韋達定理的形式，列出，代入韋達定理，整理可得，從而可證得結論.

（1）拋物線的焦點坐標為

即 拋物線的方程為

（2）證明：①當直線的斜率不存在時，即

可得直線與拋物線交點坐標為：

②當直線的斜率存在時，設方程為，

聯立方程組，消去得：

則：，

綜合①②可知，直線，的斜率之積為定值