Question

已知橢圓＝1(a＞b＞0)，點P在橢圓上．
(1)求橢圓的離心率；
(2)設A為橢圓的左頂點，O為坐標原點．若點Q在橢圓上且滿足AQ＝AO，求直線OQ的斜率的值．

Answer 1

（1）（2）k＝±.

(1)因為點P在橢圓上，故＝1，可得＝.
于是e²＝＝1－＝，所以橢圓的離心率e＝.
(2)設直線OQ的斜率為k，則其方程為y＝kx，設點Q的坐標為(x₀，y₀)．
由條件得消去y₀并整理得＝.①
由AQ＝AO，A(－a，0)及y₀＝kx₀，得(x₀＋a)²＋k²＝a².
整理得(1＋k²)＋2ax₀＝0，而x₀≠0，故x₀＝，代入①，整理得(1＋k²)²＝4k²·＋4.由(1)知＝，故(1＋k²)²＝k²＋4，
即5k⁴－22k²－15＝0，可得k²＝5.所以直線OQ的斜率k＝±.