Question

如圖,橢圓的中心為原點O,長軸在x軸上,離心率e=,過左焦點F₁作x軸的垂線交橢圓于A、A′兩點,=4.

(1)求該橢圓的標準方程;
(2)取平行于y軸的直線與橢圓相交于不同的兩點P、P′,過P、P′作圓心為Q的圓,使橢圓上的其余點均在圓Q外.求△PP′Q的面積S的最大值,并寫出對應的圓Q的標準方程.

Answer 1

（1）+=1  （2）2  (x+)²+y²=6,(x-)²+y²=6

解:(1)由題意知點A(-c,2)在橢圓上,則+=1,從而e²+=1,
又e=,故b²==8,從而a²==16.
故該橢圓的標準方程為+=1.
(2)由橢圓的對稱性,可設Q(x₀,0).又設M(x,y)是橢圓上任意一點,則|QM|²=(x-x₀)²+y²=x²-2x₀x++8×（1-）=(x-2x₀)²-+8(x∈[-4,4]).
設P(x₁,y₁),由題意知,P是橢圓上到Q的距離最小的點,
因此,當x=x₁時|QM|²取最小值,
又x₁∈(-4,4),所以當x=2x₀時|QM|²取最小值,
從而x₁=2x₀,且|QP|²=8-.
由對稱性知P′(x₁,-y₁),故|PP′|=|2y₁|,
所以S=|2y₁||x₁-x₀|
=×2|x₀|
=
=·.
當x₀=±時,△PP′Q的面積S取得最大值2.
此時對應的圓Q的圓心坐標為Q(±,0),半徑|QP|==,
因此,這樣的圓有兩個,其標準方程分別為(x+)²+y²=6,(x-)²+y²=6.