Question

【題目】已知函數（）.

（1）若曲線在處的切線與直線平行，求的值；

（2）若對于任意且，都有恒成立，求的取值范圍.

（3）若對于任意，都有成立，求整數的最大值.

（其中為自然對數的底數）

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）.

【解析】分析：（1）由題意得：，由題意可得，解得.

（2）因為，所以，

記，可知在上單調遞增.

所以在上恒成立，

即在上恒成立，記，即可求得的取值范圍.

（3）若對于任意，都有成立，

所以對于任意恒成立，

即對于任意恒成立，

令，利用導數研究函數的性質，即可得到整數的最大值.

詳解：

（1）由題意得：，

又曲線在處的切線與直線平行，

所以，解得.

（2）因為，所以，

記，又因為且，

所以在上單調遞增.

所以在上恒成立，

即在上恒成立，記，

所以，令，解得，

因為當時，，單調遞減，

當時，，單調遞增，

所以當時，取到最大值，

所以.

（3）若對于任意，都有成立，

所以對于任意恒成立，

即對于任意恒成立，

令，所以，

再令，所以在恒成立，

所以在上單調遞增，

又，，

所以必存在唯一的解，使得，

即，

所以當時，，單調遞減，

當時，，單調遞增，

所以，

因為，所以，

又因為，所以的最大整數為，

所以整數的最大值為.