Question

【題目】已知正數數列的前n項和為，滿足，.

（1）求數列的通項公式，若恒成立，求k的范圍；

（2）設，若是遞增數列，求實數a的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

（1）由，得＝Sn﹣1+Sn﹣2，（n≥3）．相減可得：＝an+an﹣1，（n≥3），根據an＞0，可得an﹣an﹣1＝1（n≥3），當n＝2時，＝a1+a2+a1，解得，進而得出an，利用裂項相消法化簡恒成立，從而求出k的范圍；

（2）由（1）得（n﹣1）2+a（n﹣1），利用是遞增數列，可得bn+1﹣bn＞0恒成立，即可實數a的取值范圍．

（1）由，得＝Sn-1+Sn﹣2，（n≥3）．相減可得：＝an+an﹣1（n≥3），

∵an＞0，∴an﹣1＞0，∴平方差公式化簡得an﹣an﹣1＝1，（n≥3）．

當n＝2時，＝a1+a2+a1，且，∴＝2+，＞0，∴＝2或=-1．因此當n＝2時，an﹣an﹣1＝1成立．

∴數列{an}是以為首項，以1為公差的等差數列，∴an＝1+n﹣1＝n．

由題意得，k.

（2）由（1）得，＝（n﹣1）2+a（n﹣1），

∵是遞增數列，∴bn+1﹣bn＝n2+an﹣（n﹣1）2﹣a（n﹣1）＝2n+a﹣1＞0，

即恒成立，∵，∴a﹣1，∴實數a的取值范圍是．