Question

【題目】已知正方體ABCD﹣A1B1C1D1 ， O是底ABCD對角線的交點．求證：
（1）C1O∥面AB1D1；
（2）平面A1AC⊥面AB1D1 ．

Answer 1

【答案】
（1）證明：連結A1C1，設A1C1∩B1D1=O1，

連結AO1，因為ABCD﹣A1B1C1D1是正方體∴A1ACC1是平行四邊形

∴AC∥A1C1且 AC=A1C1．

又O，O1分別是AC，A1C1的中點，∴O1C1∥AO且O1C1=AO，

∴O1C1AO是平行四邊形

∴OC1∥AO1，AO1面AB1D1，O1C面AB1D1

∴C1O∥面AB1D1．

（2）證明：∵CC1⊥面A1B1C1D1，∴CC1⊥B1D1，

又∵A1C1⊥B1D1，∴B1D1⊥面A1C1C，

即A1C⊥B1D1，

同理可證A1C⊥AB1，

又AB1∩B1D1=B1，

∴A1C⊥面AB1D1，

∴平面A1AC⊥面AB1D1．

【解析】（1）連結A1C1 ， 設A1C1∩B1D1=O1 ， 連結AO1 ， 證明OC1∥AO1 ， 然后證明C1O∥面AB1D1 ． （2）證明A1C⊥B1D1 ， A1C⊥AB1 ， 推出A1C⊥面AB1D1 ， 即可證明平面A1AC⊥面AB1D1 ．
【考點精析】根據題目的已知條件，利用直線與平面平行的判定和平面與平面垂直的判定的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握平面外一條直線與此平面內的一條直線平行，則該直線與此平面平行；簡記為：線線平行，則線面平行；一個平面過另一個平面的垂線，則這兩個平面垂直．