Question

【題目】如圖，已知橢圓的右焦點為，點在橢圓上，過原點的直線與橢圓相交于、兩點，且.

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）設，，過點且斜率不為零的直線與橢圓相交于、兩點，證明：.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）見解析.

【解析】

（Ⅰ）取橢圓的左焦點，連、，由橢圓的幾何性質知，則，設橢圓方程代入點即可求解（Ⅱ）設點的坐標為，點的坐標為，直線的方程為：，聯立方程組,消元得，寫出的斜率，同理得直線的斜率，利用根與系數的關系化簡即可得出結論.

（Ⅰ）如圖，取橢圓的左焦點，連、，由橢圓的幾何性質知，則，得，

將點代入橢圓的方程得：，解得：

故橢圓的方程為：.

（Ⅱ）設點的坐標為，點的坐標為

由圖可知直線的斜率存在，設直線的方程為：

聯立方程，消去得：，

，.

有

直線的斜率為：.

同理直線的斜率為：.

由

.

由上得直線與的斜率互為相反數，可得.