Question

【題目】已知函數(shù).

（1）求函數(shù)圖象經(jīng)過的定點(diǎn)坐標(biāo)；

（2）當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程及函數(shù)單調(diào)區(qū)間；

（3）若對(duì)任意，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）（2）見解析（3）.

【解析】

試題分析：（1）當(dāng)時(shí)，，則，即可求得頂點(diǎn)坐標(biāo)；（2）當(dāng)時(shí)，，對(duì)求導(dǎo)，分別求出與，即可得切線方程，再根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)，即可求出函數(shù)單調(diào)區(qū)間；（3）對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，討論和時(shí)，函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而求出，即可求出實(shí)數(shù)的取值范圍.

試題解析：（1）當(dāng)時(shí)，

∴，

∴函數(shù)的圖象無論為何值都經(jīng)過定點(diǎn).

（2）當(dāng)時(shí)，.

，，，

則切線方程為，即.

在時(shí)，如果，

即時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增；

如果，

即時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減.

（3），.

當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增.

，不恒成立.

當(dāng)時(shí)，設(shè)，.

∵的對(duì)稱軸為，，

∴在上單調(diào)遞增，且存在唯一，

使得.

∴當(dāng)時(shí)，，即，在上單調(diào)遞減；

∴當(dāng)時(shí)，，即，在上單調(diào)遞增.

∴在上的最大值.

∴，得，

解得.