【題目】已知函數
.
（Ⅰ）當
時，求函數
的最小值；
（Ⅱ）討論函數的零點個數.
【答案】（I）
；（II）詳見解析.
【解析】
（Ⅰ）當
時，
，求得
，得出函數的單調性，即可求解函數的極小值.
（Ⅱ）當
，方程
的
，則方程有兩個不相等的實數根，記為
，
，得函數
的減區間為
，增區間為
，求得函數的最小值，沒有零點；當
時，函數僅有一個零點為
；當
時，得函數
的增區間為
，減區間為
，求得
，由此時函數有兩個零點，即可得到答案.
解：（Ⅰ）當
時，
，令
可得
.
故函數
的增區間為
，減區間為
故當
時，函數的最小值為
.
（Ⅱ）由
∵
，方程
的
，則方程
有兩個不相等的實數根，記為
，
，
則
，
，有
，故函數的減區間為
，增區間為
，有
當
時，
，又函數
單調遞減，
（1）當
時，
，此時
，函數沒有零點；
（2）當
時，函數僅有一個零點為
；
（3）當
時，有
，
由，有
令
，有
，故函數
的增區間為
，減區間為
，
由
，可得不等式
（當且僅當時取等號）成立
故有當
時，
，
則此時函數有兩個零點.
由上知時，函數有一個零點；
當時，函數有兩個零點；
當
時函數沒有零點.
天天向上一本好卷系列答案
小學生10分鐘應用題系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】若數列
滿足：對于
，都有
（
為常數），則稱數列是公差為
的“隔項等差”數列．
（Ⅰ）若
，
是公差為8的“隔項等差”數列，求的前
項之和；
（Ⅱ）設數列
滿足：
，對于，都有
．
①求證：數列為“隔項等差”數列，并求其通項公式；
②設數列的前
項和為
，試研究：是否存在實數
，使得
成等比數列（
）?若存在，請求出的值；若不存在，請說明理由．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，已知橢圓
的右焦點為
，點
在橢圓
上，過原點
的直線與橢圓相交于
、
兩點，且
.
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）設
，
，過點
且斜率不為零的直線與橢圓相交于
、
兩點，證明：
.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某科室安排甲、乙、丙、丁四人國慶節放假期間（共放假八天）的值班表.已知甲、乙各值班四天，甲不能在第一天值班且甲、乙不在同一天值班；丙需要值班三天，且不能連續值班；丁需要值班五天；規定每天必須兩人值班.則符合條件的不同方案共有（ ）種.
A. 400 B. 700 C. 840 D. 960
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知拋物線
的焦點到直線
的距離為
.
(1)求拋物線的標準方程；
(2)設點
是拋物線上的動點，若以點
為圓心的圓在
軸上截得的弦長均為4，求證：圓
恒過定點.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】陜西理工大學開展大學生社會實踐活動，用“10分制”隨機調查漢臺區某社區居民的幸福指數，現從調查人群中隨機抽取16人，如圖所示的莖葉圖記錄了他們的幸福指數的得分
以小數點的前一位數字為莖，小數點后的一位數字為葉
：
寫出這組數據的眾數和中位數；
若幸福指數不低于9分，則稱該人的幸福指數為“極幸福”；若幸福指數不高于8分，則稱該人的幸福指數為“不夠幸福”
現從這16人中幸福指數為“極幸福”和“不夠幸福”的人中任意選取2人，求選出的兩人的幸福指數均為“極幸福”的概率．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】為了解甲、乙兩種離子在小鼠體內的殘留程度，進行如下試驗：將200只小鼠隨機分成
兩組，每組100只，其中
組小鼠給服甲離子溶液，
組小鼠給服乙離子溶液.每只小鼠給服的溶液體積相同、摩爾濃度相同.經過一段時間后用某種科學方法測算出殘留在小鼠體內離子的百分比.根據試驗數據分別得到如下直方圖：
記
為事件：“乙離子殘留在體內的百分比不低于
”，根據直方圖得到
的估計值為
.
（1）求乙離子殘留百分比直方圖中
的值；
（2）分別估計甲、乙離子殘留百分比的平均值（同一組中的數據用該組區間的中點值為代表）.
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