Question

已知．
（Ⅰ）判斷曲線在的切線能否與曲線相切？并說明理由；
（Ⅱ）若求的最大值；
（Ⅲ）若，求證：．

Answer 1

（1）曲線在的切線不能與曲線相切
（2）當>，即時，．
當，即時，=．
當，即時，
（3）構造函數結合導數的知識里求解最值，證明不等式。

解析試題分析：解：（Ⅰ），則，，
∴曲線在的切線l的方程為．
若l與曲線相切，設切點為，則．
由，得，∴，得，與矛盾．
∴曲線在的切線不能與曲線相切．
（Ⅱ），令得．
∴．
∴在上為增函數，在上為減函數．
∴當>，即時，．
當，即時，=．
當，即時，． 
（Ⅲ）由（Ⅱ）知=．
∵，∴=．
∴，得，∴且．
得，又，
∴．
考點：導數的運用
點評：解決的關鍵是根據導數的符號判定函數的單調性，以及函數的最值，屬于中檔題。