Question

已知橢圓的離心率為，以原點為圓心，橢圓的短半軸長為半徑的圓與直線相切．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）若過點的直線與橢圓相交于兩點，設為橢圓上一點，且滿足（其中為坐標原點），求整數的最大值．

Answer 1

（Ⅰ）． （Ⅱ）的最大整數值為1.

解析試題分析：（Ⅰ）由題知， 所以．即．
又因為，所以，．
故橢圓的方程為．                    5分
（Ⅱ）由題意知直線的斜率存在.
設：，，，，
由得.
，.
，                    8分
∵，∴，，
.
∵點在橢圓上，∴，
∴                          12分
，
∴的最大整數值為1.                           14分
考點：本題主要考查橢圓標準方程，直線與橢圓的位置關系，存在性問題研究。
點評：難題，曲線關系問題，往往通過聯立方程組，得到一元二次方程，運用韋達定理。本題求橢圓、標準方程時，主要運用了橢圓的幾何性質。對于存在性問題，往往先假設存在，利用已知條件加以探究，以明確計算的合理性。本題（III）通過假設t，利用韋達定理進一步確定t與k的關系式，通過確定函數的值域，得到t的范圍。