Question

【題目】已知,函數.

(Ⅰ)求在區間上的最小值;

(Ⅱ)設,當時, 恒成立,求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】(Ⅰ) ；(Ⅱ) .

【解析】試題分析：(Ⅰ) 利用得，判斷函數的單調性，通過(i)當時；(ii)當時,(iii)當時，分別求解函數的最值；(Ⅱ) ，則，通過①當時，②當時，i當時，ii當時，利用函數的導數結合函數的單調性求解函數的最值，推出實數的取值范圍.

試題解析：(Ⅰ) ,由,得,

當時, 為增函數;

當時, 為減函數.

(i)當時, 在區間上為減函數, ;

(ii)當時, 在區間上為增函數, ;

(iii)當時, ,

若時, ; 若時, .

綜上,當時, ;當時, .

(Ⅱ) ,則.

①當時, 在上單調遞增,則,

∵,∴存在,使得,于是在區間上單調遞減,當時, 與恒成立相矛盾,不符合題意.

②當時, ),則,即在上單調遞增,

∴,即,∴.

(i)當時, ,于是在上單調遞增,

∴恒成立,符合題意.

(ii)當時, 在上單調遞增,

則,即在上單調遞增,所以,

∵,∴存在,使得,于是在區間上單調遞減,

當時, 與恒成立相矛盾,不符合題意.

綜上,實數的取值范圍是.