Question

（本小題滿分14分）
已知橢圓的左、右焦點分別為F₁、F₂，短軸兩個端點為A、B，且四邊形F₁AF₂B是邊長為2的正方形。
（1）求橢圓的方程；
（2）若C、D分別是橢圓長的左、右端點，動點M滿足MD⊥CD，連接CM，交橢圓于點P。證明：為定值。
（3）在（2）的條件下，試問x軸上是否存異于點C的定點Q，使得以MP為直徑的圓恒過直線DP、MQ的交點，若存在，求出點Q的坐標；若不存在，請說明理由。

Answer 1

，定值為4，存在Q（0，0）滿足條件

（1） 
∴橢圓方程為  ………………4分
（2）

直線CM：
代入橢圓方程
得 ………………6分

  ………………8分
（定值）…………10分
（3）設存在
 ……11分
則由 ………12分
從而得m=0
∴存在Q（0，0）滿足條件 ………………14分