Question

【題目】如圖，在棱臺中， 與分別是棱長為1與2的正三角形，平面平面，四邊形為直角梯形， ， ， 為中點， （， ）.

（1）設中點為， ，求證： 平面；

（2）若到平面的距離為，求直線與平面所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）

【解析】試題分析：（1）延長三棱臺的三條側棱，設交點為， 時為的中點，設中點為，連梯形中，中位線，根據線面平行的判定定理可得平面；同理可證平面，然后再根據面面平行的判定定理可得，平面平面，進而可證命題成立；（2）設中點為，連，在中作且交于點，由面面垂直的性質定理，可得，又，所以平面，所以為到平面的距離，

且為直線與平面所成角；再根據面面垂直的性質定理，可得可得， 中為的中點 ，由此即可求出線面角的正弦值.

試題解析：

（1）延長三棱臺的三條側棱，設交點為

時為的中點，

設中點為，連

梯形中，中位線，又平面， 平面

所以平面；

中，中位線，又平面， 平面

所以平面

又且平面， 平面

所以平面平面

所以平面

（2）設中點為，連，在中作且交于點，

又，所以平面，

所以為到平面的距離，

且為直線與平面所成角

平面，所以， 中

為的中點

直線與平面所成角的正弦值為.