Question

函數y=f（x）是定義在[a，b]上的增函數，其中a，b∈R，且0＜b＜-a，已知y=f（x）無零點，設F（x）=f²（x）+f²（-x），則對于函數y=F（x）有如下四種說法：①定義域是[-b，b]；②最小值是0；③是偶函數；④在定義域內單調遞增．其中正確的說法是（ ）
A．①②③
B．②④
C．①③
D．①④

Answer 1

【答案】分析：根據題意，依次分析4個命題：對于①，根據F（x）的解析式以及f（x）的定義域，可得a≤x≤b，a≤-x≤b，又由0＜b＜-a，可得F（x）定義域，可得①正確；對于②，舉出反例，當f（x）＞1時，可得F（x）的最小值不是0，故②錯誤；對于③，先求出F（-x），可得F（-x）=F（x），再結合F（x）的其定義域，可得F（x）為偶函數，故③正確；對于④，由于F（x）是偶函數，結合偶函數的性質，可得④錯誤；綜合可得答案．
解答：解：根據題意，依次分析4個命題：
對于①，F（x）=f²（x）+f²（-x），有a≤x≤b，且a≤-x≤b，
而又由0＜b＜-a，則F（x）=f²（x）+f²（-x）中，x的取值范圍是-b≤x≤b，即其定義域是[-b，b]，則①正確；
對于②，由y=f（x）無零點，假設f（x）=2^x，F（x）=2^2x+2^-2x=2^2x+≥2，其最小值為2，故②錯誤；
對于③，F（-x）=f²（-x）+f²（x）=F（x），且其定義域為[-b，b]，關于原點對稱，
則F（x）為偶函數，③正確；
對于④，由于F（x）是偶函數，則F（x）在[-b，0]上與[0，b]上的單調性相反，故F（x）在其定義域內不會單調遞增，④錯誤；
故選C．
點評：本題考查函數的性質，涉及函數的定義域、奇偶性、單調性、最值等性質，判斷②時，注意要結合函數F（x）的定義域．