Question

關于函數y=f（x），有下列命題：
①若a∈[-2，2]，則函數f(x)=

x2+ax+1

的定域為R；
②若f(x)=log

1

2

(x2-3x+2)，則f（x）的單調增區間為(-∞，

3

2

)
③（理）若f(x)=

1

x2-x-2

，則

lim

x→2

[(x-2)f(x)]=0；
（文）若f(x)=

1

x2-x-2

，則值域是（-∞，0）∪（0，+∞）
④定義在R的函數f（x），且對任意的x∈R都有：f（-x）=-f（x），f（1+x）=f（1-x），則4是y=f（x）的一個周期．
其中真命題的編號是

 

．（文理相同）

Answer 1

分析：①根據題意知設g（x）=x²+ax+1為開口向上的二次函數，當△≤0時，x²+ax+1≥0，f（x）有意義，解出△≤0求出a的解集即可；
②f（x）為對數函數，底數為

1

2

＜1，為單調遞減函數，作出判斷；③先化簡（x-2）f（x）=

1

x+1

，對其求極限得

1

3

，得到答案錯誤；④根據題意可知f（x）為奇函數，且周期為2，則4是函數的一個周期．正確．

解答：解：①根據題意知設g（x）=x²+ax+1為開口向上的二次函數，當△≤0即a∈[-2，2]時，x²+ax+1≥0，f（x）有意義，所以此命題為真命題；②f（x）為對數函數，底數為

1

2

＜1，為單調遞減函數，故函數沒有遞增區間，此命題為假命題；③先化簡（x-2）f（x）=

1

x+1

，對其求極限得

1

3

，此命題為假命題；．④根據題意可知f（x）為奇函數，且周期為2，則4是函數的一個周期．此命題為真命題．所以真命題的編號為①④
故答案為①④

點評：考查學生函數的定義域及其求法的能力，以及函數的周期性、對數函數的單調區間、極限及其運算的能力．