Question

某旅游點有50輛自行車供游客租賃使用，管理這些自行車的費用是每日115元．根據經驗，若每輛自行車的日租金不超過6元，則自行車可以全部租出；若超過6元，則每提高1元，租不出去的自行車就增加3輛．
規定：每輛自行車的日租金不超過20元，每輛自行車的日租金x元只取整數，并要求出租所有自行車一日的總收入必須超過一日的管理費用，用y表示出租所有自行車的日凈收入（即一日中出租所有自行車的總收入減去管理費后的所得）．
（1）求函數y=f（x）的解析式及定義域；
（2）試問日凈收入最多時每輛自行車的日租金應定為多少元？日凈收入最多為多少元？

Answer 1

分析：（1）函數y=f（x）=出租自行車的總收入-管理費；當x≤6時，全部租出；當6＜x≤20時，每提高1元，租不出去的就增加3輛；所以要分段求出解析式；
（2）由函數解析式是分段函數，在每一段內求出函數最大值，比較得出函數的最大值．

解答：解：（1）當x≤6時，y=50x-115，令50x-115＞0，解得x＞2.3．
∵x∈N，∴x≥3，∴3≤x≤6，且x∈N．
當6＜x≤20時，y=[50-3（x-6）]x-115=-3x²+68x-115
綜上可知y=

50x-115，，(3≤x≤6，x∈N) -3x2+68x-115，，(6＜x≤20，x∈N).

（2）當3≤x≤6，且x∈N時，∵y=50x-115是增函數，
∴當x=6時，y_max=185元．
當6＜x≤20，x∈N時，y=-3x²+68x-115=-3(x-

34

3

)2+

811

3

，
∴當x=11時，y_max=270元．
綜上所述，當每輛自行車日租金定在11元時才能使日凈收入最多，為270元．

點評：本題用分段函數模型考查了一次函數，二次函數的性質與應用，是基礎題．