Question

【題目】在四棱錐P﹣ABCD中，AB⊥AD，CD⊥AD，PA⊥平面ABCD，PA=AD=CD=2AB=2，M為PC的中點(diǎn)． （Ⅰ）求證：BM∥平面PAD；
（Ⅱ）平面PAD內(nèi)是否存在一點(diǎn)N，使MN⊥平面PBD？若存在，確定點(diǎn)N的位置；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】證明：（Ⅰ）如圖，取PD中點(diǎn)E，連接EM、AE， ∴EM CD，而AB CD，∴EM∥AB，
∴四邊形ABME是平行四邊形，∴BM∥AE
∵AE平面ADP，BM平面ADP，
∴BM∥平面PAD．
（Ⅱ）解：∵PA⊥平面ABCD，
∴PA⊥AB，而AB⊥AD，PA∩AD=A，
∴AB⊥平面PAD，∴AB⊥PD
∵PA=AD，E是PD的中點(diǎn)，
∴PD⊥AE，AB∩AE=A，∴PD⊥平面ABME
作MN⊥BE，交AE于點(diǎn)N，則MN⊥平面PBD
由題意知△BME∽△MEN，而BM=AE= ，EM= CD=1，
由 = ，得EN= = = ，
∴AN= ，即點(diǎn)N為AE的中點(diǎn)．

【解析】（Ⅰ）取PD中點(diǎn)E，連接EM、AE，由已知得四邊形ABME是平行四邊形，由此能證明BM∥平面PAD．（Ⅱ）由已知PA⊥AB，AB⊥AD，從而AB⊥平面PAD，進(jìn)而AB⊥PD，由此得到PD⊥平面ABME，作MN⊥BE，交AE于點(diǎn)N，則MN⊥平面PBD，從而求出點(diǎn)N為AE的中點(diǎn)．
【考點(diǎn)精析】掌握直線與平面平行的判定和直線與平面垂直的性質(zhì)是解答本題的根本，需要知道平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線與此平面平行；簡記為：線線平行，則線面平行；垂直于同一個(gè)平面的兩條直線平行．