Question

【題目】二次函數y=ax2+x+1（a＞0）的圖象與x軸兩個交點的橫坐標分別為x1 ， x2 ．
（1）證明：（1+x1）（1+x2）=1；
（2）證明：x1＜﹣1，x2＜﹣1；
（3）若x1 ， x2滿足不等式|lg |≤1，試求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）證明：由題意得：

x1+x2=﹣ ，x1x2= ，

∴（1+x1）（1+x2）=x1x2+（x1+x2）+1=1

（2）證明：由△=1﹣4a＞0，解得：a＜ ，

∵（1+x1）（1+x2）=1＞0，

而（1+x1）（1+x2）=x1+x2+2=﹣ +2＜﹣4+2＜0，

∴1+x1＜0，1+x2＜0，

故x1＜﹣1，x2＜﹣1

（3）解：x2=﹣ ，|lg |≤1，

∵ ≤ ≤10，

∴ ≤﹣（1+x1）≤10，

∴﹣11≤x1≤﹣ ，

a= =﹣（ + ）=﹣ + ，

當 =﹣ 時，a的最大值是 ，

當 =﹣ 時，a的最小值是 ，

故a的范圍是[ ， ]．

【解析】1、由根與系數的關系可得、x1+x2= ,x1x2= ,∴（1+x1）（1+x2）=x1x2+（x1+x2）+1=1得證。
2、由第一問的結果可得（1+x1）（1+x2）=x1+x2+2= +2＜﹣4+2＜0，∴1+x1＜0，1+x2＜0，即x1＜﹣1，x2＜﹣1。
3、由,可得 , ≤﹣（1+x1）≤10，∴﹣11≤x1≤-,當.
當時，a的最大值是， 當時a的最小值是 ，a的范圍是[ ， ]
【考點精析】認真審題，首先需要了解二次函數的性質(增減性：當a>0時，對稱軸左邊，y隨x增大而減小；對稱軸右邊，y隨x增大而增大；當a<0時，對稱軸左邊，y隨x增大而增大；對稱軸右邊，y隨x增大而減小)．