Question

直線與雙曲線的右支交于不同兩點，（1）求實數的取值范圍；（2）是否存在實數，使得以線段為直徑的圓經過雙曲線右焦點？若存在，求出的值，若不存在，請說明理由。

Answer 1

⑴⑵可使得以線段AB為直徑的圓過雙曲線的右焦點。

（1）將直線的方程代入雙曲線的方程后，整理得：---①，依題意，直線與雙曲線的右支交于不同兩點，∴，解得的取值范圍是。
（2）設兩點的坐標分別是，則由①式得----②，假設存在實數使得以線段為直徑的圓經過雙曲線右焦點，則由得，即------③，整理得：，把②式及代入③式化簡得，解得或，又不符合，所以舍去。可知可使得以線段AB為直徑的圓過雙曲線的右焦點。