Question

【題目】在三棱錐中，.

（1）求證：；

（2）若點 為上一點，且，求直線與平面所成的角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）

【解析】

（1）取的中點E，連接，然后由等腰三角形的性質推出，從而利用線面垂直的判定定理與性質可使問題得證；

（2）以為坐標原點建立空間直角坐標系，然后求出相關點的坐標，再求出平面的一個法向量，從而利用空間向量的夾角公式求解即可.

解：

（1）證明：取的中點E，連接，

∵，∴，

同理可得，

又，∴平面，

又平面，∴.

（2）∵，

∴為等腰直角三角形，且，

∴，∴，即，

又，且，∴平面，

∴以為坐標原點，所在直線為x軸，所在直線為y軸，所在直線為z軸建立如圖所示的空間直角坐標系.

∴，

設，∵，，

∴，

∴∴，

∴，

又，

設是平面的法向量，

則

令，得，∴，

設直線與平面所成角為，

則

，

∴直線與平面所成角的正弦值為.