Question

直三棱柱A₁B₁C₁-ABC的三視圖如圖所示，D、E分別為棱CC₁和B₁C₁的中點．
（1）求異面直線A₁D與AB所成角的余弦值；
（2）求點C到平面A₁BD的距離；
（3）在AC上是否存在一點F，使EF⊥平面A₁BD，若存在確定其位置，若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）建立空間直角坐標系，分別求出兩條直線所在的向量，進而利用向量的有關運算求出空間向量的夾角，再轉化為兩條異面直線的夾角．
（2）求出平面的法向量以及平面的一條斜線所在的向量，再求出斜線所在的向量在法向量上射影，進而得到答案．
（3）設F（x，0，0），由E（0，1，2），可求出向量

EF

，則

EF

為平面A₁BD的一個法向量，由此構造方程，求出x值，即可得到F點的位置．

解答：解：（1）如圖建立空間直角坐標系，則B（2，0，0），D（0，0，1），A₁（0，2，2），A（0，2，0），
所以

A1D

=(0，-2，-1)，

AB

=(2，-2，0)，
所以cos＜A₁D，AB＞=|

A1D • AB

| A1D || AB |

|=

10

5

．

所以異面直線A₁D與AB所成角的余弦值為

10

5

．
（2）由（1）可得：

A1D

=(0，-2，-1)

，BD

(-2，0，1)，
設平面A₁DB的法向量為

n1

=(x，y，z)，
則

-2y-z=0 -2x+z=0

，取x=-1
所以可得：

n1

=(-1，1，-2)，
又因為

CD

=(0，0，1)，
所以cos＜n₁，

CD

＞=

n1• CD

|n1|•| CD |

=

2

6 •1

=

2 6

6

，
所以d=|

CD

|•

2 6

6

=

2 6

6

．
所以點C到平面A₁BD的距離

2 6

6

．
（3）存在F為AC的中點，使EF⊥平面A₁BD
設F（0，y，0），由E（1，0，2）得

EF

=(-1，y，-2)
若EF⊥平面A₁BD，則

EF

∥

n1

由

n1

=(-1，1，-2)得y=1，
∴F為AC的中點
∴存在F為AC的中點，使EF⊥平面A₁BD

點評：本題考查的知識點是利用空間向量夾角空間夾角與空間距離等問題，并且考查由三視圖還原實物圖，以及基本運算能力．