Question

如圖，在直三棱柱A₁B₁C₁-ABC中，∠BAC=

π

2

，AB=AC=A₁A=1，已知G與E分別是棱A₁B₁和CC₁的中點，D與F分別是線段AC與AB上的動點（不包括端點）．若GD⊥EF，則線段DF的長度的取值范圍是（　　）

• A、[

  1

  5

  ，1）
• B、[

  1

  5

  ，2）
• C、[1，

  2

  ）
• D、[

  1

  5

  ，

  2

  ）

Answer 1

分析：建立空間直角坐標系，設出F、D的坐標，求出向量

DG

， 

EF

，利用GD⊥EF求得關系式，寫出DF的表達式，然后利用二次函數求最值即可．

解答：解：建立如圖所示的空間直角坐標系，則A（0，0，0），E（0，1，

1

2

），
G（

1

2

，0，1），F（x，0，0），D（0，y，0）由于
GD⊥EF，所以   x+2y-1=0
DF=

x2+y2

=

5y2-4y+1

=

5(y- 2 5 )2+ 1 5

∵0＜x＜1，0＜y＜1，
∴0＜y＜

1

2

，
當y=

2

5

時，線段DF長度的最小值是

1

5

當y=0時，線段DF長度的最大值是1，
而不包括端點，故y=0不能取1；
故選A．

點評：本題考查棱柱的結構特征，考查空間想象能力，空間直角坐標系，數量積等知識，是中檔題．