Question

如圖，直三棱柱A₁B₁C₁-ABC中，C₁C=CB=CA=2，AC⊥CB． D、E分別為棱C₁C、B₁C₁的中點．
（1）求點E到平面ADB的距離；
（2）求二面角E-A₁D-B的平面角的余弦值；
（3）在線段AC上是否存在一點F，使得EF⊥平面A₁DB？若存在，確定其位置；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：以CB為x軸，CA為y軸，CC₁為z軸，建立空間直角坐標系，則C（0，0，0），A（0，2，0），B（2，0，0），D（0，0，1），E（1，0，2）．這種解法的好處就是：（1）解題過程中較少用到空間幾何中判定線線、面面、線面相對位置的有關定理，因為這些可以用向量方法來解決．（2）即使立體感稍差一些的學生也可以順利解出，因為只需畫個草圖以建立坐標系和觀察有關點的位置即可．
（1）

AB

=(2，-2，0)，

AD

=(0，-2，1)，

DE

=(1，0，1)，設平面ADB的法向量為

n

=(x，y，1)得：可取法向量為

n

=(1，1，2)，則點E到平面ADB的距離d=|

DE • n

| n |

|=

6

2

．
（2）A₁（0，2，2），E（1，0，2），D（0，0，1）可得

A1E

=(1，-2，0)，

A1D

=(0，-2，-1)，
設平面A₁ED的法向量為

n1

=(x，y，1)，則

n1

=(2，1，-2)，平面A₁BD的法向量為

n2

=(x，y，1)，則

n2

=(1，-1，2)，
所以cos＜

n1

，

n2

＞=

n1 • n2

| n1 || n2 |

=-

6

6

，即求二面角E-A₁D-B的余弦值為

6

6

．
（3）假設存在點F，坐標為（0，y，0），則

EF

=(-1，y，-2)，EF⊥平面A₁DB得

EF

∥

n2

，F（0，1，0），F即為AC中點．

解答：解：（1）如圖所示，以CB為x軸，CA為y軸，CC₁為z軸建立空間直角坐標系，由C₁C=CB=CA=2可得C（0，0，0），A（0，2，0），B（2，0，0），D（0，0，1），E（1，0，2）．
則

AB

=(2，-2，0)，

AD

=(0，-2，1)，

DE

=(1，0，1)
設平面ADB的法向量為

n

=(x，y，1)得

2x-2y=0 -2y+1=0

?

x= 1 2 y= 1 2

即

n

=(

1

2

，

1

2

，1)
則取法向量為

n

=(1，1，2)，
則點E到平面ADB的距離d=|

DE • n

| n |

|=

6

2

．（3分）
（2）A₁（0，2，2），E（1，0，2），D（0，0，1）
可得

A1E

=(1，-2，0)，

A1D

=(0，-2，-1)，
設平面A₁ED的法向量為

n1

=(x，y，1)?

x-2y=0 -2y-1=0

?

x=-1 y=- 1 2

，
故可令

n1

=(2，1，-2)，A₁（0，2，2），D（0，0，1），B（2，0，0），
可得

A1D

=(0，-2，-1)，

A1B

=(2，-2，-2)，
設平面A₁BD的法向量為

n2

=(x，y，1)?

-2y-1=0 2x-2y-2=0

?

x= 1 2 y=- 1 2

，
故可令

n2

=(1，-1，2)，
∴cos＜

n1

，

n2

＞=

n1 • n2

| n1 || n2 |

=-

6

6

，
即求二面角E-A₁D-B的余弦值為

6

6

；（6分）
（3）假設存在點F，坐標為（0，y，0），
則

EF

=(-1，y，-2)，
EF⊥平面A₁DB得

EF

∥

n2

，即

1

-1

=

-1

y

=

2

-2

?y=1，
∴F（0，1，0）F即為AC中點．（10分）

點評：本小題考查空間中的線面關系，直線與平面所成的角、點到面的距離、二面角、解三角形等基礎知識考查空間想象能力和思維能力．