【題目】設橢圓
的一個頂點與拋物線
的焦點重合，
，
分別是橢圓
的左、右焦點，離心率
，過橢圓右焦點的直線
與橢圓交于
，
兩點．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）是否存在直線，使得
，若存在，求出直線的方程；若不存在，說明理由；
（Ⅲ）設點
是一個動點，若直線的斜率存在，且
為
中點，
，求實數
的取值范圍．
【答案】(Ⅰ)
；(Ⅱ)答案見解析；(Ⅲ)
.
【解析】
(Ⅰ)由題意求得a,b,c的值即可確定橢圓方程；
(Ⅱ)聯立直線方程與橢圓方程，結合韋達定理和向量的坐標運算法則求得直線的斜率即可確定直線方程；
(Ⅲ)由題意結合點差法得到
的表達式，結合其表達式求解取值范圍即可.
(Ⅰ)拋物線
的焦點坐標為
，故
，
結合
可得：
，故橢圓方程為：.
(Ⅱ)很明顯直線的斜率存在，設
，
假設存在滿足題意的直線方程：
，
與橢圓方程聯立可得：
，
則
，
則：
，
結合題意和韋達定理有：
，
解得：
，即存在滿足題意的直線方程：
.
(Ⅲ)設
，設直線AB的方程為
，
由于：
，
兩式作差整理變形可得：
，
即：
. ①
又
②
③
①×②可得：
④
④代入③可得：
⑤
④⑤代入①整理可得：
，
，據此可得：
，
從而.
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【題目】已知橢圓
過點
，且短軸長為
．
（Ⅰ）求橢圓
的方程；
（Ⅱ）過點
作
軸的垂線
，設點
為第四象限內一點且在橢圓上（點不在直線上），點關于的對稱點為
，直線
與橢圓交于另一點
．設
為坐標原點，判斷直線
與直線
的位置關系，并說明理由．
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【題目】已知函數
，
，
.
(1)當
時，若對任意
均有
成立，求實數
的取值范圍；
(2)設直線
與曲線
和曲線
相切，切點分別為
，
，其中
.
①求證：
；
②當
時，關于
的不等式
恒成立，求實數
的取值范圍.
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【題目】已知函數f(x)=x3+bx2+cx-1,當x=-2時有極值,且在x=-1處的切線的斜率為-3.
(1)求函數f(x)的解析式.
(2)求函數f(x)在區間[-1,2]上的最大值與最小值.
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【題目】已知圓
，直線
，動圓P與圓M相外切，且與直線l相切.設動圓圓心P的軌跡為E.
（1）求E的方程；
（2）若點A，B是E上的兩個動點，O為坐標原點，且
，求證：直線AB恒過定點.
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【題目】立德中學和樹人中學各派一名學生組成一個聯隊參加一項智力競賽，這個智力競賽一共兩輪，在每一輪中，兩名同學各回答一次題目，已知，立德中學派出的學生每輪中答對問題的概率都是
，樹人中學派出的學生每輪中答對問題的概率都是
；每輪中，兩位同學答對與否互不影響，各論結果亦互不影響，求：
（Ⅰ）兩輪比賽后，立德中學的學生恰比樹人中學的學生答對題目的個數多
個的概率；
（Ⅱ）兩輪比賽后，記
為這兩名同學一共答對的題目數，求隨機變量的分布列和數學期望．
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【題目】已知橢圓
的左頂點為
，上頂點為
，右焦點為
，離心率為
，
的面積為
．
（Ⅰ）求橢圓
的方程；
（Ⅱ）若
為
軸上的兩個動點，且
，直線
和
分別與橢圓交于
兩點．
（ⅰ）求
的面積最小值；
（ⅱ）證明：
三點共線．
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【題目】如圖，在平面直角坐標系xOy中，已知以M為圓心的圓M: 
及其上一點A（2，4）
（1）設圓N與x軸相切，與圓M外切，且圓心N在直線x=6上，求圓N的標準方程；
（2）設平行于OA的直線l與圓M相交于B、C兩點，且BC=OA,求直線l的方程；
（3）設點T（t,o）滿足：存在圓M上的兩點P和Q,使得
,求實數t的取值范圍。
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