Question

【題目】已知橢圓過點，且短軸長為．

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）過點作軸的垂線，設點為第四象限內一點且在橢圓上（點不在直線上），點關于的對稱點為，直線與橢圓交于另一點．設為坐標原點，判斷直線與直線的位置關系，并說明理由．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）直線與直線平行，說明見解析

【解析】

（Ⅰ）根據短軸長和橢圓上的點構造方程組，求解得到，從而得到標準方程；（Ⅱ）根據與關于對稱，可知直線與斜率互為相反數；假設方程，與橢圓方程聯立，利用韋達定理得兩根之積為，從而求得，同理可得，從而可求得，再利用直線方程求得；根據兩點連線斜率公式得到，從而可得直線與直線平行.

（Ⅰ）由題意的：，解得，

橢圓的方程為

（Ⅱ）直線與直線平行，證明如下：

由題意，直線的斜率存在且不為零

關于對稱，則直線與斜率互為相反數

設直線，

設，

由，消去得

同理

，

又

故直線與直線平行