Question

已知曲線C：y=2x²-x³，點P（0，-4），直線l過點P且與曲線C相切于點Q，則點Q的橫坐標為

-1

，切線方程為

7x+y+4=0

．

Answer 1

分析：設切點Q的坐標，求出函數的導函數，把切線的斜率用點Q的橫坐標表示，寫出切線方程，然后把P點坐標代入切線方程，則點Q的橫坐標可求，繼而求出切線方程．

解答：解：設切點Q（a，2a²-a³），
因為y=2x²-x³，所以y^′=（2x²-x³）^′=4x-3x²，
所以直線L的斜率為4a-3a²，直線L的方程為：y-2a²+a³=（4a-3a²）（x-a），
因為直線過P（0，-4），所以-4-2a²+a³=-a（4a-3a²），
即（a+1）（a²-2a+2）=0，所以a=-1，
切線的斜率為：4×（-1）-3×（-1）²=-7，
切線方程為：y-（-4）=-7（x-0），即7x+y+4=0．
故答案為-1；7x+y+4=0．

點評：本題考查了運用導函數求曲線上某點處的切線方程，該題是極易出錯的，學生會誤把P點的橫坐標代入導函數得到的值作為切線的斜率，該題是中檔題．