Question

已知曲線C：y=x³-3x²+2x，直線l：y=kx，且直線l與曲線C相切于點（x₀，y₀）（x₀≠0），求直線l的方程及切點坐標．

Answer 1

分析：切點（x₀，y₀）既在曲線上，又在切線上，由導數可得切線的斜率．聯立方程組解之即可．

解答：解：∵直線過原點，則k=

y0

x0

（x₀≠1）．
由點（x₀，y₀）在曲線C上，則y₀=x₀³-3x₀²+2x₀，
∴

y0

x0

=x₀²-3x₀+2．
又y′=3x²-6x+2，
∴在（x₀，y₀）處曲線C的切線斜率應為k=f′（x₀）=3x₀²-6x₀+2．
∴x₀²-3x₀+2=3x₀²-6x₀+2．
整理得2x₀²-3x₀=0．
解得x₀=

3

2

（∵x₀≠0）．
這時，y₀=-

3

8

，k=-

1

4

．
因此，直線l的方程為y=-

1

4

x，切點坐標是（

3

2

，-

3

8

）．

點評：對于高次函數凡涉及到切線或其單調性的問題時，要有求導意識．