Question

【題目】定義在上的函數為增函數，對任意都有（為常數）

（1）判斷為何值時，為奇函數，并證明；

（2）設，是上的增函數，且，若不等式對任意恒成立，求實數的取值范圍.

（3）若，，為的前項和，求正整數，使得對任意均有.

Answer 1

【答案】（1） 是奇函數（2）（3）

【解析】試題分析: （1）根據定義在R上的奇函數的性質，有，求得k的值，再根據，賦值，即可得到與之間的關系，根據奇函數的定義，即可證得結論；
（2）將代入恒等式可得，再利用恒等式進行賦值，將3轉化為f（2），再根據f（x）的單調性去掉“f”，轉化為對任意恒成立，采用換元法，再用變量分離出結果

（3）實際是找數列的最大值，根據通項的正負情況，前四項都是正數，從第五項起是負數，所以很容易找出的最大值為，再根據f(x)的單調性的結果；

試題解析:

（1）若在上為奇函數，則，令

則，所以

證明：由，令，，則

又，則有，即對任意成立，

所以是奇函數.

（2）因為，所以

所以對任意恒成立.

又是上的增函數，所以對任意恒成立，

即對任意恒成立.令，則恒成立,,令,g(t)在（0,1+）遞減，在遞增，最小值為g(所以實數的取值范圍是.

(3)

因為；

當n≥5時，

,而>0得

所以，當n≥5時，＜0，所以對任意n∈N*恒有故k=4, ∵f(x)是增函數，所以