【題目】如圖，在四棱錐
中，已知
平面
，
為等邊三角形，
，
，
與平面
所成角的正切值為
.
(Ⅰ)證明：
平面
；
(Ⅱ)若
是
的中點，求二面角
的余弦值.
【答案】（Ⅰ）見解析.（Ⅱ）
.
【解析】
(Ⅰ)先證明
為
與平面
所成的角，于是可得
，于是
．又由題意得到
，故得
，再根據(jù)線面平行的性質(zhì)可得所證結(jié)論． (Ⅱ) 取
的中點
，連接
，可證得
．建立空間直角坐標(biāo)系，分別求出平面
和平面
的法向量，根據(jù)兩個法向量夾角的余弦值得到二面角的余弦值．
(Ⅰ)證明：因為
平面
，
平面，
所以
又
,
,
所以
平面，
所以為與平面所成的角．
在
中，
，
所以
所以在中，
,.
又，
所以在底面中，,
又
平面
，
平面，
所以
平面．
(Ⅱ)解：取的中點，連接，則
,由(Ⅰ)知，
所以，
分別以，
，
為
，
，
軸建立空間直角坐標(biāo)系
.
則
，
，
，
所以
，
，
設(shè)平面的一個法向量為
，
由
，即
，得
，
令
，則
．
設(shè)平面的一個法向量為
，
由
，即
，得
，
令
，則
．
所以
，
由圖形可得二面角
為銳角，
所以二面角的余弦值為．
科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】《中華人民共和國道路交通安全法》第47條的相關(guān)規(guī)定：機(jī)動車行經(jīng)人行道時，應(yīng)當(dāng)減速慢行；遇行人正在通過人行道，應(yīng)當(dāng)停車讓行，俗稱“禮讓斑馬線”， 《中華人民共和國道路交通安全法》第90條規(guī)定：對不禮讓行人的駕駛員處以扣3分，罰款50元的處罰.下表是某市一主干路口監(jiān)控設(shè)備所抓拍的5個月內(nèi)駕駛員“禮讓斑馬線”行為統(tǒng)計數(shù)據(jù)：
月份 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
違章駕駛員人數(shù) | 120 | 105 | 100 | 90 | 85 |
（1）請利用所給數(shù)據(jù)求違章人數(shù)
與月份
之間的回歸直線方程
；
（2）預(yù)測該路口9月份的不“禮讓斑馬線”違章駕駛員人數(shù).
參考公式： 
， 
.
參考數(shù)據(jù)： 
.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】已知橢圓C：
（
）過點
，短軸一個端點到右焦點的距離為2．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設(shè)過定點
的直線1與橢圓交于不同的兩點A，B，若坐標(biāo)原點O在以線段AB為直徑的圓上，求直線l的斜率k．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】已知函數(shù)
．
（Ⅰ）求函數(shù)
的單調(diào)區(qū)間與極值；
（Ⅱ）若不等式
對任意
恒成立，求實數(shù)
的取值范圍；
（Ⅲ）求證：
.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】如圖所示，在直三棱柱
中，D點為棱AB的中點．
求證：
平面
；
若
，
，求二面角
的余弦值；
若
，
，
兩兩垂直，求證：此三棱柱為正三棱柱．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】有一橢圓形溜冰場，長軸長100米，短軸長為60米，現(xiàn)要在這溜冰場上劃定一個各頂點都在溜冰場邊界上的矩形區(qū)域，且使這個區(qū)域的面積最大，應(yīng)把這個矩形的頂點定位在何處？并求出此矩形的周長.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】從某企業(yè)生產(chǎn)的某種產(chǎn)品中抽取100件，測量這些產(chǎn)品的一項質(zhì)量指標(biāo)值．由測量表得到如下頻率分布直方圖
（1）補(bǔ)全上面的頻率分布直方圖（用陰影表示）；
（2）統(tǒng)計方法中，同一組數(shù)據(jù)常用該組區(qū)間的中間值作為代表，據(jù)此估計這種產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)值服從正態(tài)分布Z（μ，σ2），其中μ近似為樣本平均值
，σ2近似為樣本方差s2（組數(shù)據(jù)取中間值）；
①利用該正態(tài)分布，求從該廠生產(chǎn)的產(chǎn)品中任取一件，該產(chǎn)品為合格品的概率；
②該企業(yè)每年生產(chǎn)這種產(chǎn)品10萬件，生產(chǎn)一件合格品利潤10元，生產(chǎn)一件不合格品虧損20元，則該企業(yè)的年利潤是多少？
參考數(shù)據(jù)：
＝5.1，若Z～N（μ，σ2），則P（μ﹣σ，μ+σ）＝0.6826，P（μ﹣2σ，μ+2σ）＝0.9544．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】郴州市某中學(xué)從甲乙兩個教師所教班級的學(xué)生中隨機(jī)抽取100人，每人分別對兩個教師進(jìn)行評分，滿分均為100分，整理評分?jǐn)?shù)據(jù)，將分?jǐn)?shù)以10為組距分成6組：
，
，
，
，
，
.得到甲教師的頻率分布直方圖，和乙教師的頻數(shù)分布表：
乙教師分?jǐn)?shù)頻數(shù)分布表 | |
分?jǐn)?shù)區(qū)間 | 頻數(shù) |
| 3 |
| 3 |
| 15 |
| 19 |
| 35 |
| 25 |
（1）在抽樣的100人中，求對甲教師的評分低于70分的人數(shù)；
（2）從對乙教師的評分在
范圍內(nèi)的人中隨機(jī)選出2人，求2人評分均在范圍內(nèi)的概率；
（3）如果該校以學(xué)生對老師評分的中位數(shù)是否大于80分作為衡量一個教師是否可評為該年度該校優(yōu)秀教師的標(biāo)準(zhǔn)，則甲、乙兩個教師中哪一個可評為年度該校優(yōu)秀教師？（精確到0.1）
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