Question

【題目】如圖，在直三棱柱中，分別是棱上的點（點不同于點），且，為棱上的點，且．

求證：（1）平面平面；

（2）平面．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析

【解析】

（1）推導出BB1⊥AD，AD⊥DE，從而AD⊥平面BCC1B1，由此能證明平面ADE⊥平面BCC1B1．（2）推導出BB1⊥平面A1B1C1，BB1⊥A1F，A1F⊥B1C1，從而A1F⊥平面BCC1B1，再由AD⊥平面BCC1B1，得A1F∥AD，由此能證明A1F∥平面ADE．

（1）在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，BB1⊥平面ABC，因為AD平面ABC，所以BB1⊥AD，

又因為AD⊥DE，在平面BCC1B1中，BB1與DE相交，

所以AD⊥平面BCC1B1，

又因為AD平面ADE，所以平面ADE⊥平面BCC1B1．

（2）在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，BB1⊥平面A1B1C1，

因為A1F平面A1B1C1，所以BB1⊥A1F，

又因為A1F⊥B1C1，

在平面BCC1B1中，BB1∩B1C1＝B1，

所以A1F⊥平面BCC1B1，

在（1）中已證得AD⊥平面BCC1B1，

所以A1F∥AD，又因為A1F平面ADE，AD平面ADE，

所以A1F∥平面ADE．