Question

【題目】已知函數.

（1）求函數的單調區間；

（2）若關于的方程有實數解，求實數的取值范圍；

（3）求證：.

Answer 1

【答案】(1)在區間上為增函數；在區間上為減函數.(2).(3)證明見解析.

【解析】分析：（1）由函數的解析式可得，則函數在區間上為增函數，在區間上為減函數；

（2）令，則，，而，據此可得.

（3）原不等式等價于.由（1）得，令，則，據此即可證得題中的結論.

詳解：（1）函數定義域為，；

在區間上，為增函數；

在區間上，為減函數；

（2）令，

在區間，為，為減函數；

在區間，為，為增函數；

，

由（1）得，

若關于的方程有實數解等價于.

即：.

（3）原不等式等價于.

由（1）得，當且僅當時取等號，

即，當且僅當時取等號.

令，，所以函數在上為增函數，

所以，即，

由此得，即.