【題目】已知函數
的圖象在
處的切線方程為
.
（1）討論函數
的單調性；
（2）證明：
.（注：
，
是常數）
【答案】（1）見解析；（2）證明見解析.
【解析】
（1）根據導數的幾何意義可得
，根據
可得
，對
求導后，分類討論
可得函數
的單調性；
（2）代入
，將所證不等式轉化為證不等式
，利用（1）的結論得到
，進一步得到
，從而可得
，再構造函數
，利用導數可證
，最后根據不等式的傳遞性可證不等式
.
（1）因為
，所以
.
因為
，所以，
所以
.
所以，
，
當
時，
，
在
上單調遞減.
當
時，令
，得
；令，得
.在
上單調遞增，在
上單調遞減.
綜上所述：當時，在上單調遞減；
當時，在上單調遞增，在上單調遞減
（2）證明：由題意，要證
，即證.
由（1）知，當
時，
，所以
，即，
由
，兩邊同時取自然對數，可得
，
于是
，即，
所以
，
因為
和
不能同時取到，所以
，
故
.
令，
則
，
因為和
不能同時取到，故.
因為，所以，
所以原不等式成立.
科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】甲、乙兩校各有3名教師報名支教，期中甲校2男1女，乙校1男2女．
（1）若從甲校和乙校報名的教師中各任選1名，寫出所有可能的結果，并求選出的2名教師性別相同的概率；
（2）若從報名的6名教師中任選2名，寫出所有可能的結果，并求選出的2名教師來自同一學校的概率．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】直角坐標系中曲線
的參數方程：
（
為參數），在以坐標原點為極點，
軸正半軸為極軸的極坐標系中，
點的極坐標
，在平面直角坐標系中，直線
經過點，傾斜角為
.
（1）寫出曲線的直角坐標方程和直線的參數方程；
（2）設直線與曲線相交于
兩點，求
的值.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】在直角坐標系
中，已知點
，曲線
的參數方程為
（
為參數），點
是曲線上的任意一點，點
為
的中點，以坐標原點為極點，
軸的正半軸為極軸建立極坐標系.
（1）求點的軌跡
的極坐標方程；
（2）已知直線
：
與曲線交于點
，
，射線
逆時針旋轉
交曲線于點
，且
，求
.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知函數
（1）若曲線
在點
處的切線與直線
垂直，求函數的極值；
（2）設函數
.當
=
時，若區間[1，e]上存在x0，使得
，求實數
的取值范圍．（
為自然對數底數）
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某工廠對一批新產品的長度(單位：
)進行檢測，如下圖是檢測結果的頻率分布直方圖，據此估計這批產品的中位數與平均數分別為( )
A.20，22.5B.22.5，25C.22.5，22.75D.22.75，22.75
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，在正三棱柱
中，
，
，由頂點
沿棱柱側面經過棱
到頂點
的最短路線與棱的交點記為
，求：
（1）三棱柱的側面展開科的對角線長；
（2）該最短路線的長及
的值；
（3）平面
與平面
所成二面角（銳角）的大小.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】設數列
的首項為
，前
項和為
，若對任意的
，均有
（
是常數且
）成立，則稱數列
為“
數列”.
（1）若數列
為“
數列”，求數列
的通項公式；
（2）是否存在數列
既是“
數列”，也是“
數列”？若存在，求出符合條件的數列
的通項公式及對應的
的值；若不存在，請說明理由；
（3）若數列
為“
數列”， 
，設
，證明： 
.
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