Question

【題目】已知函數(shù) （其中a為非零實(shí)數(shù)），且方程 有且僅有一個(gè)實(shí)數(shù)根． （Ⅰ）求實(shí)數(shù)a的值；
（Ⅱ）證明：函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，+∞）上單調(diào)遞減．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）由 ，得 ， 又a≠0，即二次方程ax2﹣4x+4﹣a=0有且僅有一個(gè)實(shí)數(shù)根（且該實(shí)數(shù)根非零），
所以△=（﹣4）2﹣4a（4﹣a）=0，
解得a=2（此時(shí)實(shí)數(shù)根非零）．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得：函數(shù)解析式 ，
任取0＜x1＜x2 ，
則f（x1）﹣f（x2）
=
= ，
∵0＜x1＜x2 ， ∴x2﹣x1＞0，2+x1x2＞0，x1x2＞0，
∴f（x1）﹣f（x2）＞0，即f（x1）＞f（x2），
∴函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，+∞）上單調(diào)遞減．
【解析】（Ⅰ）根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)得到△=0，求出a的值即可；（Ⅱ）根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義證明函數(shù)的單調(diào)性即可．