Question

【題目】已知橢圓的中心在原點，焦點在軸上，離心率為，且經過點，直線： 交橢圓于， 兩不同的點.

（1）求橢圓的方程；

（2）若直線不過點，求證：直線， 與軸圍成等腰三角形.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）證明詳見解析．

【解析】試題分析：（Ⅰ）求橢圓方程采用待定系數法，首先設出橢圓方程，由離心率和點的坐標可分別得到關于的關系式，結合可求得值，從而得到橢圓方程；（Ⅱ）將直線方程與橢圓方程聯立，借助于二次方程根與系數的關系可得到坐標與的關系式，證明三角形為等腰三角形轉化為證明直線的斜率互為相反數，通過計算兩斜率之和為0，來實現結論的證明.

（Ⅰ）設橢圓方程為，因為，所以，

又橢圓過點，所以，解得， ，故橢圓的方程為

（Ⅱ）將代入并整理得，

再根據，求得.

設直線， 斜率分別為和，只要證即可.

設， ，則， ，

∴

而此分式的分子等于

可得

因此， 與軸所圍成的三角形為等腰三角形.