Question

設函數的定義域是,其中常數.
(1)若,求的過原點的切線方程.
(2)當時,求最大實數,使不等式對恒成立.
(3)證明當時,對任何,有.

Answer 1

(1)切線方程為和.(2)的最大值是.（3）詳見解析.

試題分析：(1)一般地，曲線在點處的切線方程為：.注意，此題是求過原點的切線，而不是求在原點處切線方程，而該曲線又過原點，故有原點為切點和原點不為切點兩種情況.當原點不為切點時需把切點的坐標設出來.(2)令,則問題轉化為對恒成立.注意到,所以如果在單調增,則必有對恒成立.下面就通過導數研究的單調性.（3）不等式可變形為：.為了證這個不等式，首先證；而證這個不等式可利用導數證明.故令，然后利用導數求在區間上范圍即可.
試題解析：(1).若切點為原點,由知切線方程為;
若切點不是原點,設切點為,由于,故由切線過原點知,在內有唯一的根.
又,故切線方程為.
綜上所述,所求切線有兩條,方程分別為和.
(2)令,則,,顯然有,且的導函數為：
.
若,則,由知對恒成立,從而對恒有,即在單調增,從而對恒成立,從而在單調增,對恒成立.
若,則,由知存在,使得對恒成立,即對恒成立,再由知存在,使得對恒成立,再由便知不能對恒成立.
綜上所述,所求的最大值是.
（3）當時，令，則，故當時，恒有，即在單調遞減，故，對恒成立.又，故，即對恒有：
，
在此不等式中依次取，得：
，，
，
，
，
…………………………
，
將以上不等式相加得：，即.