Question

【題目】在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB⊥BC，BB1BC，D是CC1的中點．

（1）證明：B1C⊥平面ABD；

（2）若AB＝BC，E是A1C1的中點，求二面角A﹣BD﹣E的大小．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）60°．

【解析】

（1）設BC＝2，證明△DCB∽△CBB1，得∠BDC＝∠BCB1，可得∠DBC+∠BCB1＝90°，則BD⊥B1C，由三棱柱ABC﹣A1B1C1是直三棱柱，得BB1⊥AB，進一步得到AB⊥平面BCC1B1，從而有AB⊥B1C，進一步得到B1C⊥平面ABD；

（2）設BC＝2，以B為坐標原點建立空間直角坐標系，分別求出平面ABD的一個法向量與平面BDE的一個法向量，由兩法向量所成角的余弦值可得二面角A﹣BD﹣E的大小．

（1）設BC＝2，

∴，，．

∴，則△DCB∽△CBB1，得∠BDC＝∠BCB1，

∵∠DBC+∠BDC＝90°，

∴∠DBC+∠BCB1＝90°，

得BD⊥B1C．

∵三棱柱ABC﹣A1B1C1是直三棱柱，

∴BB1⊥平面ABC，

又AB平面ABC，

∴BB1⊥AB，

又∵AB⊥BC，BB1∩BC＝B，

∴AB⊥平面BCC1B1，

而B1C平面BCC1B1，

∴AB⊥B1C，

又BD∩AB＝B，

∴B1C⊥平面ABD；

（2）解：設BC＝2，建立如圖所示空間直角坐標系，

由（1）知，E（1，1，2），D（0，2，），

A（2，0，0），B1（0，0，），C（0，2，0）．

由（1）知平面ABD的一個法向量，

，．

設平面BDE的一個法向量為．

由，

取z，得．

∴cos．

由圖可知二面角A﹣BD﹣E為銳角，

則二面角A﹣BD﹣E的大小為60°．