Question

【題目】已知，分別是橢圓的左右焦點，其焦距為，過的直線與交于，兩點，且的周長是.

（1）求的方程；

（2）若是上的動點，從點(是坐標系原點)向圓作兩條切線，分別交于，兩點.已知直線，的斜率存在，并分別記為，.

（ⅰ）求證：為定值；

（ⅱ）試問是否為定值？若是，求出該值；若不是，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）.（2）①證明見解析；②是，定值為.

【解析】

（1）設橢圓的焦距為，根據其焦距為，求得，直線過的焦點，且的周長是，可得，即可求得的方程；

（2）（ⅰ）設直線：，直線：，直線與圓相切，可得，化簡得；同理可得.根據是一元二次方程，的兩實數根，即可求得的值；（ⅱ）設.聯立方程組，根據韋達定理和已知條件可得：的值；

（1）設橢圓的焦距為()，

則，

故：.

直線過的焦點，且的周長是，

，

.

.

橢圓的方程是.

（2）（ⅰ）從點(是坐標系原點)向圓作兩條切線，分別交于，兩點.已知直線，的斜率存在，并分別記為，

直線：，直線：.

直線與圓相切，

根據點到直線距離公式可得：

化簡得；

同理可得.

是一元二次方程的兩實數根，

則有

又點在上，

，即，

(定值).

（ⅱ）是定值，且定值為.

理由如下：

設.

聯立方程組

解得

.

同理可得.

由（ⅰ）知，

，

(定值).