Question

【題目】已知二次函數f（x）=ax2+bx+c（a≠0），記f[2]（x）=f（f（x）），例：f（x）=x2+1，
則f[2]（x）=（f（x））2+1=（x2+1）2+1；
（1）f（x）=x2﹣x，解關于x的方程f[2]（x）=x；
（2）記△=（b﹣1）2﹣4ac，若f[2]（x）=x有四個不相等的實數根，求△的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：由題意：當f（x）=x2﹣x時，則：f[2]（x）=（x2﹣x）2﹣（x2﹣x）=x4﹣2x3+x；

那么：f[2]（x）=x；即：x4﹣2x3+x=x；

解得：x=0或x=2

（2）解：根據新類型的定義：f（f（x））=x，令f（x）﹣x=t，

則f（x）﹣t=x，f（x）=t+x，

則有：f（t+x）=f（x）﹣t．即a（t+x）2+b（t+x）+c=ax2+bx+c﹣t，

化簡可得：at2+（2ax+b+1）t=0，

解得：t=0或t= ．

當t=0時，即ax2+bx+c=x，有兩個不相同的實數根，可得（b﹣1）2﹣4ac＞0．

當t= 時，ax2+bx+c=x ，整理可得： ，

∴△= =（b+1）2﹣4ac+4（b+1）=（b﹣1）2﹣4ac﹣4

∵有兩個不相同的實數根△＞0．

∴（b﹣1）2﹣4ac﹣4＞0，即（b﹣1）2﹣4ac＞4．

綜上所得△=（b﹣1）2﹣4ac的取值范圍是（4，+∞）

【解析】（1）根據新類型的定義，求解f[2]（x），再解方程即可．（2）換元思想，根據新類型的定義：f（f（x））=x，令f（x）﹣x=t，則f（x）﹣t=x，f（x）=t+x，則有：f（t+x）=f（x）﹣t．帶入二次函數f（x）=ax2+bx+c（a≠0），求出t，t又是二次函數的值，即ax2+bx+c=t
函數必有兩個根，△＞0．化簡可得（b﹣1）2﹣4ac的取值范圍．
【考點精析】本題主要考查了二次函數的性質的相關知識點，需要掌握當時，拋物線開口向上，函數在上遞減，在上遞增；當時，拋物線開口向下，函數在上遞增，在上遞減才能正確解答此題．