Question

【題目】如圖，建立平面直角坐標系xOy，x軸在地平面上，y軸垂直于地平面，單位長度為1千米，某炮位于坐標原點．已知炮彈發射后的軌跡在方程y=kx-表示的曲線上，其中k與發射方向有關．炮的射程是指炮彈落地點的橫坐標．
（1）當k=2時，求炮的射程；
（2）求炮的最大射程；
（3）設在第一象限有一飛行物（忽略其大小），其飛行高度為3.2千米，試問它的橫坐標a不超過多少時，炮彈可以其中它？請說明理由．

Answer 1

【答案】解：（1）∵k=2，y=kx-，可得：y=2x-，y=0，可得x=0，x=8．
炮的射程為：8千米．
（2）在 y=kx﹣（1+k2）x2（k＞0）中，令y=0，得 kx﹣（1+k2）x2=0．
由實際意義和題設條件知x＞0，k＞0．
∴x==≤=10，當且僅當k=1時取等號．
∴炮的最大射程是10千米．
（3）∵a＞0，∴炮彈可以擊中目標等價于存在 k＞0，使ka﹣（1+k2）a2≥3.2成立，
即關于k的方程a2k2﹣20ak+a2+64=0有正根．
由韋達定理滿足兩根之和大于0，兩根之積大于0，
故只需△=400a2﹣4a2（a2+64）≥0，得a≤6．
此時，k=＞0．
∴當a不超過6時，炮彈可以擊中目標．
【解析】（1）通過k=2，化簡函數解析式，再利用二次函數求解射程．
（2）求炮彈擊中目標時的橫坐標的最大值，用一元二次方程根的判別式求解即可．
（3）炮彈可以擊中目標等價于存在 k＞0，使ka﹣（1+k2）a2≥3.2成立，轉化為關于k的方程a2k2﹣20ak+a2+64=0有正根．利用判別式，求解即可．