Question

【題目】數列{an}的前n項和為Sn ， Sn=2an﹣n（n∈N*）．
（1）求證：數列{an+1}成等比數列；
（2）求數列{an}的通項公式；
（3）數列{an}中是否存在連續三項可以構成等差數列？若存在，請求出一組適合條件的三項；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）證明：因為Sn=2an﹣n，

當n=1時，a1=S1=2a1﹣1，解得a1=1，

因為Sn=2an﹣n，

所以Sn+1=2an+1﹣（n+1），

則an+1=2an+1﹣2an﹣1，

所以an+1=2an+1，

所以an+1+1=2（an+1）

數列{an+1}是首項和公比均為2的等比數列；

（2）解：由（1）知，數列{an+1}是等比數列，

所以an+1=22n﹣1=2n，

所以an=2n﹣1．

（3）解：假設存在k，k+1，k+2∈N*，使得ak，ak+1，ak+2成等差數列，

則2ak+1=ak+ak+2，即2（2k+1﹣1）=2k﹣1+2k+2﹣1，

即2k+2=2k+2k+2，即有2k=0，這與2k＞0矛盾，

故數列{an}中不存在連續三項可以構成等差數列．

【解析】（1）當n=1時，a1=S1 ， 由條件求得首項，根據an+1=Sn+1﹣Sn ， 求得an+1+1=2（an+1），判斷出數列{an+1}是等比數列；（2）利用等比數列的通項公式求得an+1，進而求得an；（3）設存在k，k+1，k+2∈N* ， 使得ak ， ak+1 ， ak+2成等差數列，根據等差中項的性質，化簡整理，結合指數函數的值域，即可判斷存在性．
【考點精析】本題主要考查了等比數列的通項公式（及其變式）和數列的通項公式的相關知識點，需要掌握通項公式：；如果數列an的第n項與n之間的關系可以用一個公式表示，那么這個公式就叫這個數列的通項公式才能正確解答此題．